A Vida depois do Teorema de Godel

No outro dia pus-me a ler o artigo da Wikipedia sobre o Teorema da Incompletude de Godel, que de agora em diante designarei por TIG.

Não sei se o percebi bem, mas se percebi, é das coisas mais brutais que já me foram dadas a conhecer.

Como achei que o artigo não estava muito bem explicado tentarei eu próprio expor o seu conteúdo de uma forma que considero mais legível, na esperança que este teorema possa ter um impacto tão grande no leitor como teve em mim. Por outro lado, se o leitor for um entendido na matéria e verificar que estou a dizer alguma bacorada, peço-lhe que me corrija.

Uma das coisas que falta no artigo da wiki é contextualização, por isso é por aí que começo:

Uma Teoria matematizada, e é a este grupo que pertencem todas as teorias desenvolvidas de forma rigorosa, num sentido muito geral, é uma estrutura constituída por dois alicerces:

1. Um conjunto de axiomas, ou verdades auto-evidentes, isto é, um conjunto de proposições cuja validade é tão óbvia que se considera desnecessário prová-la.

2. Um sistema formal, ou seja, um conjunto de regras lógicas cuja validade também tem de ser assumida.

Isto significa em particular que uma Teoria é sempre limitada na medida que precisa sempre de pressupostos para ser construída e não existe nenhuma maneira recursiva de testar a validade destes pressupostos (daí o seu nome).

A partir dos axiomas usa-se o sistema formal (as regras) para retirar corolários, isto é, proposições que também são verdadeiras em consequência dos axiomas serem verdadeiros.

Estes corolários são os teoremas.

Uma teoria diz-se completa se todas as proposições verdadeiras podem ser derivadas dos axiomas utilizando o sistema formal, isto é, se não fica nenhuma verdade de fora, se não há verdades que não sejam consequência dos axiomas.

Uma teoria diz-se consistente se nunca for possível derivar dos seus axiomas duas proposições contraditórias, ou seja, se uma proposição e a sua negação não podem ser ambas verdadeiras.

Peço ao leitor que antes de prosseguir absorva bem o significado destas duas propriedades. Fui propositadamente redundante ao defini-las, para que o que vou dizer a seguir tenha mais impacto.

O TIG diz o seguinte:

Uma teoria não pode ser simultaneamente completa e consistente.

Pensem nisto.

O TIG deita por terra de uma vez e para sempre o objectivo final da física: derivar todas as leis do universo a partir de um conjunto de propriedades básicas, fundamentais.

...

Agora que a minha motivação com o meu curso estava no seu ponto mínimo, sai-me um teorema que faz o resto do trabalho.

This is worthless.


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Algumas das consequências científicas e filosóficas do TIG, bem como a ideia que está por trás da demonstração (de uma simplicidade infantil, como muitas das mais geniais ideias) podem ser encontradas aqui.

Obs. - Na minha exposição omiti alguns pormenores técnicos e cometi algumas imprecisões porque quis reduzi-la ao mínimo de maneira a que a ideia fosse plenamente legível.